Collatzova hypotéza

Maximálny počet bodov: 10

Medzi náročné matematické problémy, ktoré majú jednoduché zadanie, patrí aj tzv. Collatzova hypotéza. Tá hovorí, že ak si vyberieš hocijaké prirodzené číslo a opakuješ nasledujúci postup: ak je číslo párne, vydelíš ho dvomi, ak je nepárne, prenásobíš ho trojkou a pripočítaš jednotku, tak nakoniec skončíš pri čísle 1. Napríklad ak začneš päťkou, tak dostaneš nasledujúcu postupnosť 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Ak začneš sedmičkou, tak dostaneš nasledujúcu postupnosť: 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Pri niektorých číslach skončíme pri jednotke už po niekoľkých krokoch, ale pri iných to trvá oveľa dlhšie.
Na nasledujúcom obrázku je znázornený počet krokov, ktoré treba urobiť na to, aby ste sa dostali k jednotke z daného prirodzeného čísla, ktoré je nanesené na vodorovnej osi.

Vidíme, že tento počet veľmi kolíše, a teda sa nedá na základe veľkosti čísla dobre odhadnúť, koľko krokov budete potrebovať na to, aby ste skončili pri jednotke.

Určte, koľko krokov, ktoré je potrebné urobiť, aby ste skončili pri jednotke, ak začnete s číslom 19.
Určte, aký je maximálny počet krokov, ktoré je potrebné urobiť, aby ste skončili pri jednotke, ak začnete s ľubovoľným číslom menším ako 31. Akú najväčšiu hodnotu medzivýsledku pritom dosiahnete?

Prílohy

attach_fileSúbor k úlohe | obrazok_k_ulohe.jpg

Diskusia