Sierpińského trojuholník

Maximálny počet bodov: 10

Pred 50 zomrel Wacław Franciszek Sierpiński, poľský matematik, ktorý sa okrem iného zaoberal teóriou množín, teóriou čísel a topológiou. Známy je však hlavne vďaka svojmu príspevku v teórii fraktálov. Pri istom zjednodušení môžeme povedať, že fraktály sú geometrické útvary, ktoré sú tzv. sebe podobné – znamená to, že ak nejakú časť daného útvaru pozorujeme pri akomkoľvek zväčšení, pozorujeme stále opakujúci sa určitý charakteristický tvar (motív), pričom tento útvar má na prvý pohľad veľmi zložitý tvar, avšak je generovaný opakovaným použitím jednoduchých pravidiel. Príkladom fraktálov sú napríklad Mandelbrotova množina (https://labak.net/u/rl/126), Kochova krivka (https://labak.net/u/rl/127) či práve Sierpińského trojuholník. Tento trojuholník môžeme dostať nasledujúcim spôsobom: Začneme z rovnostranného trojuholníka s dĺžkou strany 1 (prvý obrázok). Tento trojuholník rozdelíme na štyri rovnakého trojuholníky jeho strednými priečkami a stredný trojuholník vyjmeme. Zostanú nám tri rovnostranné trojuholníky (druhý obrázok – prvá iterácia). Každý z týchto troch trojuholníkov opäť rozdelíme na štyri menšie trojuholníky a stredný z nich vyjmeme. Dostaneme útvar na treťom obrázku (teda druhú iteráciu). Takto postupujeme „nekonečne“ dlho. Útvar, ktorý nám potom zostane, je Sierpińského trojuholník. Vypočítaj jeho obsah a obvod. Vypočítaj obsah a obvod štvrtej iterácie (teda proces vynímania stredného trojuholníka zopakujeme 4-krát a dostaneme piaty obrázok nižšie).

Prílohy

attach_fileSúbor k úlohe | obrazok_k_ulohe.png

Diskusia